Durata del ciclo e ripartizione dei verdi: Webster e la prassi HCM a confronto

1. Il problema

Ogni piano semaforico a tempi fissi o coordinato parte da un numero: la durata del ciclo. Per stimarla si usano comunemente due approcci. Il primo è il ciclo ottimo di Webster (Road Research Laboratory, 1958), che individua il ciclo che minimizza approssimativamente il ritardo totale. Il secondo è la relazione del rapporto volume/capacità (v/c) critico, propria della prassi dell’Highway Capacity Manual (HCM), che fornisce il ciclo più breve in grado di mantenere il v/c critico dell’intersezione entro un valore obiettivo.

I due metodi usano gli stessi dati ma rispondono a domande diverse, e nessuno dei due risultati è definitivo finché non si verificano i tempi pedonali e gli intervalli di cambio veicolari rispetto al MUTCD (voce in inglese). Di seguito: le equazioni, che cosa l’HCM fa e non fa, e un esempio ipotetico a 4 fasi in cui è il minimo pedonale a fissare il ciclo pratico.

Due precisazioni preliminari:

• L’HCM è uno strumento di valutazione, non di ottimizzazione. La Signalized Intersections: Informational Guide della FHWA (FHWA-HRT-04-091, 2004, riferita alla procedura dell’HCM 2000) chiarisce che, per l’analisi operativa HCM, “a complete signal operating plan, including phasing, cycle length, and green times, must be developed externally” (il piano semaforico completo, comprese fasi, ciclo e verdi, va sviluppato a parte). La stessa guida segnala che l’HCM sconsiglia di usare il proprio Quick Estimation Method (QEM) per progettare la regolazione [7]. La relazione del v/c critico serve a verificare o stimare un ciclo, non a prescriverne uno ottimo. L’HCM vigente è la 7th Edition (2022), con i capitoli sostitutivi dell’Edition 7.1 [6].
• Il MUTCD in vigore è l’11th Edition con Revision 1 (dicembre 2025). La Final Rule della Revision 1 è stata pubblicata ed è entrata in vigore il 5 marzo 2026; l’11th Edition originale (dicembre 2023) era entrata in vigore il 18 gennaio 2024 [8]. Gli intervalli pedonali si trovano nella Section 4I.06, “Pedestrian Intervals and Signal Phases”, e gli intervalli di cambio veicolari nella Section 4F.17, “Yellow Change and Red Clearance Intervals” [8].

2. Definizioni

Simbolo	Significato
v_i	Flusso di domanda del gruppo di corsie critico della fase i (veic/h)
s_i	Flusso di saturazione dello stesso gruppo (veic/h di verde)
y_i = v_i / s_i	Rapporto di flusso critico della fase i
Y = Σ y_i	Somma dei rapporti di flusso critici lungo il percorso critico
l_i	Tempo perso della fase i (s)
L = Σ l_i	Tempo perso totale per ciclo (s)
C	Durata del ciclo (s)
g_i	Verde efficace della fase i (s)
X_c	Rapporto v/c critico dell’intersezione
x_i = y_i C / g_i	Grado di saturazione della fase i

Analisi delle manovre critiche. Questa analisi individua l’insieme di manovre che non possono svolgersi contemporaneamente [4]. In ogni fase del percorso critico, il gruppo di corsie con il rapporto di flusso più alto è il gruppo critico [14]. Y è la somma di questi soli rapporti: le manovre che si svolgono in parallelo a una manovra critica non si sommano a Y.

Tempo perso. Il Traffic Signal Timing Manual FHWA del 2008 riporta che l’HCM adotta un valore predefinito di 4 s per fase di tempo perso totale [4]. Il manuale di laboratorio NIATT della University of Idaho descrive la L di Webster come normalmente pari alla somma degli interverdi [2]. Le due convenzioni possono dare valori di L diversi: va dichiarata quella adottata.

3. Metodo

3.1 Il ciclo ottimo di Webster

Ciclo che minimizza il ritardo secondo Webster [1][2]:

C_0 = (1.5 L + 5) / (1 − Y)

Il criterio di ripartizione di Webster assegna il verde efficace disponibile in proporzione ai rapporti di flusso critici [2]:

g_i = (C − L) · y_i / Y

Con questo criterio tutte le fasi critiche hanno lo stesso grado di saturazione, x_i = Y·C/(C − L).

3.2 v/c critico e ciclo minimo (prassi HCM)

Il v/c critico dell’intersezione è

X_c = Y · C / (C − L)

È la relazione del v/c critico come riportata nel materiale didattico basato sull’HCM [3]. Risolvendola rispetto a C per un valore obiettivo di X_c si ottiene il ciclo minimo che lo rispetta (con L = N·l per N fasi critiche con uguale tempo perso l):

C_min = L · X_c / (X_c − Y)

Il Traffic Signal Timing Manual FHWA del 2008, citando l’HCM 2000, descrive queste fasce di v/c critico [4]:

• sotto 0,85: funzionamento al di sotto della capacità
• 0,85–0,95: prossimo alla capacità
• 0,95–1,00: deflusso instabile, con ritardi molto variabili
• oltre 1,00: la domanda supera la capacità

C_min è un limite inferiore dettato dalla capacità; C_0 è un obiettivo dettato dal ritardo. Entrambi perdono significato quando Y si avvicina al valore limite: 1 per Webster, X_c per C_min.

3.3 Intervalli di cambio veicolari

La Section 4F.17 del MUTCD stabilisce che la durata del giallo e del tutto rosso sia “determined using engineering practices” (determinata secondo la pratica ingegneristica). Come Guidance indica per il giallo un minimo di 3 s e un massimo di 6 s, e per il tutto rosso una durata non superiore a 6 s. I valori sono quelli riprodotti nella bozza 2026 del California MUTCD per la Section 4F.17, basata sul testo federale dell’11th Edition [11].

La pratica più diffusa è l’equazione cinematica. La Recommended Practice ITE Guidelines for Determining Traffic Signal Change and Clearance Intervals (RP-040B, 2020) fonda il proprio metodo sull’“extended kinematic equation” [12]. La forma base, riportata nel Traffic Signal Timing Manual FHWA del 2008 come un’unica espressione del periodo di cambio (Eq. 5-2, attribuita a Kell e Fullerton), in cui il primo termine è il giallo e il secondo il tutto rosso, è [4]:

Y = t + 1.47 V / (2(a + 32.2 g)) R = (W + L_v) / (1.47 V)

Qui t è il tempo di percezione e reazione (s), V la velocità di approccio (mph), a la decelerazione (ft/s²), g la pendenza (decimale, positiva in salita), W la larghezza dell’intersezione (ft) e L_v la lunghezza del veicolo (ft). Il manuale afferma che “t = 1.0 s, a = 10 ft/s², and L_v = 20 ft are often cited” (sono valori citati di frequente) [4]. Le linee guida dell’Arizona DOT adottano gli stessi valori predefiniti [13]. Per la progettazione va usata la RP-040B stessa.

3.4 Intervalli pedonali (MUTCD 11th Edition, Section 4I.06)

I valori della Section 4I.06 riportati sotto sono stati verificati sul California MUTCD 2026, basato sull’11th Edition federale, e sulla Engineering Policy Guide 902.9 del MoDOT [9][10]:

• Intervallo di verde pedonale (walk): dovrebbe durare almeno 7 s (Guidance). Può scendere fino a 4 s dove volumi e caratteristiche dei pedoni non richiedono 7 s (Option).
• Tempo di sgombero pedonale: dovrebbe consentire a un pedone partito dal marciapiede alla fine del walk di raggiungere almeno il lato opposto della carreggiata camminando a 3,5 ft/s (Guidance). Dove la traversata è usata abitualmente da pedoni più lenti, va considerata una velocità inferiore a 3,5 ft/s. Dove sono installati pulsanti a pressione prolungata si può usare fino a 4 ft/s.
• Verifica walk più sgombero: walk e tempo di sgombero insieme dovrebbero consentire a un pedone che parte dal rilevatore di raggiungere il lato opposto a 3 ft/s. In assenza di rilevatore il punto di partenza è 6 ft dietro il cordolo o il bordo della pavimentazione. L’eventuale tempo aggiuntivo va aggiunto al walk.
• Intervallo cuscinetto (buffer) (Standard): la MANO ALZATA fissa deve essere esposta per almeno 2 s prima di dare via libera a qualsiasi manovra veicolare in conflitto, e il buffer non può iniziare dopo l’inizio del tutto rosso, se presente. La somma dell’intervallo di cambio pedonale e del buffer non deve essere inferiore al tempo di sgombero pedonale calcolato.

Il minimo di 2 s è il valore dell’11th Edition, riprodotto senza modifiche californiane in [9]; la EPG 902.9 del MoDOT riporta ancora il minimo di 3 s del MUTCD 2009 (Section 4E.06) [10][15]. La Revision 1 ha modificato la Section 4I.06 solo al paragrafo 19 (i volumi di svolta in conflitto possono essere a sinistra o a destra) e non ha toccato la Section 4F.17; le disposizioni su walk, sgombero e buffer sono invariate [16]. Il valore va letto nell’edizione adottata dall’ente competente.

4. Esempio numerico (ipotetico)

Tutti i valori sono illustrativi; lo script Python riproduce ogni numero.

Configurazione. Intersezione a tempi fissi, 4 fasi, svolte a sinistra protette su entrambe le strade:

Fase	Gruppo di corsie critico	v (veic/h)	s (veic/h)	y
1	EB/WB sinistra	210	1.750	0,120
2	EB/WB dritto+destra	1.260	3.500	0,360
3	NB/SB sinistra	150	1.750	0,086
4	NB/SB dritto+destra	640	3.400	0,188

Y = 0,754. Tempo perso di 4 s per fase (L = 16 s); il tempo perso non coincide con l’interverde, calcolato a parte più sotto.

Webster. C_0 = (1,5·16 + 5)/(1 − 0,754) = 29/0,246 = 117,9 s.

Ciclo minimo con X_c = 0,90. C_min = 16·0,90/(0,90 − 0,754) = 98,6 s, arrotondato in pratica a 100 s.

Ripartizione secondo y (durata di fase = g + l):

Ciclo	g1	g2	g3	g4	Fase 4	X_c
100 s	13,4	40,1	9,5	21,0	25,0	0,898
120 s	16,6	49,7	11,8	26,0	30,0	0,870

Intervalli di cambio della fase 4. Velocità di approccio 35 mph (51,45 ft/s), pendenza nulla, t = 1,0 s, a = 10 ft/s², W = 90 ft, L_v = 20 ft:

• Y = 1,0 + 51,45/20 = 3,57 s, adottato 3,6 s, entro l’intervallo di Guidance 3–6 s.
• R = 110/51,45 = 2,14 s, adottato 2,1 s.

Attraversamento pedonale in parallelo alla fase 4 (traversata della strada principale, 72 ft):

• Tempo di sgombero pedonale = 72/3,5 = 20,6 s. Con un walk di 7 s, walk + sgombero = 27,6 s.
• La verifica a 3 ft/s da 6 ft dietro il cordolo dà (72 + 6)/3,0 = 26,0 s, inferiore a 27,6 s: non serve allungare il walk.
• Durata minima della fase 4 con una convenzione cautelativa: walk e sgombero devono terminare entro la fine del giallo, lasciando al tutto rosso il compito di coprire il buffer. Risulta 7 + 20,6 + 2,1 = 29,7 s (il tutto rosso di 2,1 s copre il minimo di 2 s del buffer), arrotondato per eccesso a 30 s, quindi un verde efficace minimo della fase 4 di 26 s. Gli enti contabilizzano buffer e tutto rosso in modi diversi: va applicata la convenzione propria.

Risultato. Al limite di capacità di 100 s, la ripartizione secondo y assegna alla fase 4 solo 25,0 s, meno dei 30 s richiesti dai pedoni. Fissando la fase 4 a 30 s e ridistribuendo il verde restante secondo y:

C (s)	x massimo (fasi 1–3)	x fase 4
100	0,975	0,724
105	0,943	0,760
110	0,915	0,796
115	0,891	0,833
120	0,870	0,869

Rispettato il vincolo pedonale, il ciclo più breve che mantiene ogni fase critica entro 0,90 è 115 s. A 120 s, vicino ai 117,9 s di Webster, il verde della fase 4 calcolato secondo y (25,97 s) coincide in pratica con il minimo pedonale, che quindi smette di essere vincolante. Un piano pratico è C = 120 s con durate di fase intere di 21 / 53 / 16 / 30 s, che sommano a 120. I gradi di saturazione risultanti sono 0,847, 0,882, 0,857 e 0,869.

In sintesi: C_min vale solo se le durate di fase che produce sono realizzabili. Qui il minimo pedonale ha spostato il ciclo realizzabile di circa 16 s sopra C_min, verso il valore di Webster.

import math
ph=[(210,1750),(1260,3500),(150,1750),(640,3400)]
y=[v/s for v,s in ph]; Y=sum(y); l=4.0; L=4*l
C0=(1.5*L+5)/(1-Y); Cmin=L*0.90/(0.90-Y)          # 117.9, 98.6
V=1.47*35; Yc=1.0+V/(2*10); R=(90+20)/V             # 3.57, 2.14
walk=7; PCT=72/3.5; chk=(72+6)/3.0                  # 20.57, 26.0
gmin4=math.ceil(walk+PCT+round(R,1))-l              # 26 s
for C in range(90,135,5):
    g=[(C-L)*yi/Y for yi in y]
    if g[3]<gmin4:
        rest=C-L-gmin4; ys=Y-y[3]
        g=[rest*y[0]/ys,rest*y[1]/ys,rest*y[2]/ys,gmin4]
    print(C,[round(yi*C/gi,3) for yi,gi in zip(y,g)])

5. Limiti

• Ipotesi del modello di Webster. L’equazione deriva da un modello di ritardo per un semaforo isolato, a tempi fissi, non saturo, con arrivi casuali. Non descrive la regolazione attuata (le durate di fase variano da ciclo a ciclo) né la sovrasaturazione (le code si trasferiscono al ciclo successivo; Y prossimo o superiore a 1).
• Coordinamento. In un sistema coordinato il ciclo è una variabile di sistema scelta per la progressione; C_0 e C_min calcolati per l’intersezione isolata sono dati di partenza, non la risposta [4].
• Flusso di saturazione e tempo perso. I risultati sono molto sensibili a s e L. Nell’esempio, aumentare Y di 0,03 (da 0,754 a 0,784) porta C_0 da 117,9 s a 134,2 s. Ove possibile, i flussi di saturazione vanno misurati.
• Utilizzo delle corsie, corsie condivise e svolte a sinistra permesse. Richiedono la procedura completa dell’HCM per gruppi di corsie; un solo y per fase è una semplificazione.
• Convenzione pedonale. Il modo in cui buffer e tutto rosso vengono contabilizzati nello sgombero pedonale cambia la durata minima di fase di qualche secondo. La convenzione adottata va documentata.
• Ruolo dell’HCM. L’HCM valuta un piano semaforico fornito dall’utente (capacità, v/c, ritardo, LOS). Il piano deve essere prodotto da strumenti di ottimizzazione o dal giudizio ingegneristico [7].

6. Checklist operativa

1. Confermare le edizioni applicabili: HCM 7th (con gli aggiornamenti 7.1, se adottati), MUTCD 11th Edition con Revision 1 o l’edizione statale, eventuali linee guida dell’ente.
2. Definire le fasi e individuare il percorso critico e i gruppi di corsie critici.
3. Usare flussi di saturazione misurati ove possibile e dichiarare la convenzione sul tempo perso.
4. Calcolare Y, C_0 e C_min per l’X_c obiettivo dell’ente.
5. Calcolare giallo e tutto rosso con il metodo dell’ente (ad es. ITE RP-040B) e verificarli rispetto alla Section 4F.17.
6. Calcolare walk, sgombero pedonale a 3,5 ft/s (o meno, dove giustificato) e la verifica complessiva a 3 ft/s; confermare il minimo di 2 s del buffer (Section 4I.06) nell’edizione adottata dall’ente.
7. Tradurre i minimi pedonali in durate minime di fase e ridistribuire il verde restante.
8. Arrotondare a un ciclo pratico e a durate intere, poi ricalcolare ogni x_i.
9. In caso di regolazione coordinata o attuata, trasferire questi valori nel modello di sistema o del controllore invece di usarli direttamente.
10. Registrare ogni dato e ipotesi, in modo che un revisore possa riprodurre il risultato.

Per una revisione indipendente di uno studio come questo, vedi peer review o scrivimi.

Fonti

1. Webster, F.V. Traffic Signal Settings. Road Research Technical Paper No. 39, Road Research Laboratory / HMSO, Londra, 1958 (riferimento come comunemente citato; originale non consultato).
2. University of Idaho, NIATT, Traffic Signal Timing Design Lab Manual, “Cycle Length Determination”. https://www.webpages.uidaho.edu/niatt_labmanual/Chapters/signaltimingdesign/theoryandconcepts/CycleLengthDetermination.htm ; “Green Split Calculations” https://www.webpages.uidaho.edu/niatt_labmanual/Chapters/signaltimingdesign/theoryandconcepts/GreenSplitCalculations.htm
3. NPTEL, Module 7: Traffic Signal Design. https://archive.nptel.ac.in/content/storage2/courses/105101008/574_SignalLos/point6/point.html
4. FHWA, Traffic Signal Timing Manual, FHWA-HOP-08-024, giugno 2008 (archiviato; sostituito da [5]). Capitolo 3: https://ops.fhwa.dot.gov/publications/fhwahop08024/chapter3.htm ; Capitolo 5: https://ops.fhwa.dot.gov/publications/fhwahop08024/chapter5.htm
5. Signal Timing Manual, Second Edition. NCHRP Report 812, Transportation Research Board / National Academies Press, 2015. https://www.nationalacademies.org/publications/22097 È in preparazione una terza edizione (progetto NCHRP 03-149, completamento previsto a fine 2026; non ancora pubblicata a novembre 2026): https://trid.trb.org/View/1957089
6. Transportation Research Board. Highway Capacity Manual 7th Edition: A Guide for Multimodal Mobility Analysis. National Academies Press, 2022 (disponibili i capitoli sostitutivi dell’Edition 7.1). https://www.nationalacademies.org/publications/26432
7. FHWA, Signalized Intersections: Informational Guide, FHWA-HRT-04-091, agosto 2004, Capitolo 7. https://www.fhwa.dot.gov/publications/research/safety/04091/07.cfm
8. FHWA, Manual on Uniform Traffic Control Devices, 11th Edition (dicembre 2023) e 11th Edition con Revision 1 (dicembre 2025). https://mutcd.fhwa.dot.gov/ ; https://mutcd.fhwa.dot.gov/kno_11th_Editionr1.htm ; indice: https://mutcd-dr.fhwa.dot.gov/pdfs/11th_Edition/11thcovtoc.pdf
9. Caltrans, California MUTCD 2026 Edition, Chapter 4I (indicato come MUTCD FHWA 2023 Edition modificato per l’uso in California; il paragrafo della 4I.06 sul buffer non contiene modifiche californiane). https://dot.ca.gov/-/media/dot-media/programs/safety-programs/documents/ca-mutcd/2026/2026-camutcd-2026-4i-a11y.pdf
10. Missouri DOT, Engineering Policy Guide 902.9, Pedestrian Control Features (MUTCD Chapter 4I). https://epg.modot.org/index.php?title=902.9_Pedestrian_Control_Features_%28MUTCD_Chapter_4I%29
11. Caltrans, California MUTCD 2026 Edition (Draft), testo del Chapter 4F, CTCDC Agenda Item 25-10, ottobre 2025. https://dot.ca.gov/-/media/dot-media/programs/safety-programs/documents/ca-mutcd/nmutcd/part4/20251028-ctcdc-mtg-ai-25-10-att-11-camutcd-2026-4f-text-a11y.pdf
12. ITE, Guidelines for Determining Traffic Signal Change and Clearance Intervals, Recommended Practice RP-040B, 2020. https://ite.org/technical-resources/topics/traffic-engineering/traffic-signal-change-and-clearance-intervals ; sintesi: https://trid.trb.org/view/1692694
13. Arizona DOT, Traffic Guidelines and Processes 621, Signal Phase Change Intervals. https://azdot.gov/sites/default/files/2019/05/tgp0621-2018-01.pdf
14. Wei, H., Zheng, G., Gayah, V., Li, Z. “A Survey on Traffic Signal Control Methods”, arXiv:1904.08117v3, 2020. https://arxiv.org/pdf/1904.08117
15. FHWA, MUTCD 2009 Edition, Section 4E.06 Pedestrian Intervals and Signal Phases. https://mutcd.fhwa.dot.gov/HTM/2009/part4/part4e.htm
16. FHWA, Supplemental Summary of Changes, MUTCD 11th Edition Revision 1 (docket FHWA-2024-0074-0003), copia pubblicata dal WisDOT: https://wisconsindot.gov/dtsdManuals/traffic-ops/manuals-and-standards/wmutcd/fhwa-rev1.pdf